Роль интуиции и неявного знания

Априорное знание также представляет собой часть неявного знания. Как это показал еще И. Кант, математика как наука построена на прочном фундаменте этого априорного знания, которое носит доопытный характер. Вначале формируется слой неявных онтологических предпосылок, относящихся к пониманию мира в целом. В частности, это представление о трехмерности пространства, о единстве мира. Неявные онтологические предпосылки представляют собой фундамент для формирования знания конкретной личности вообще, в том числе и математического. Затем начинается формирование слоя неявного априорного знания, имеющего особое значение именно для занятий математикой. Это неявное знание имеет вид неформализуемых в математике понятий, таких, как количество, множество, непрерывность, дискретность. Строго говоря, понятия эти, опять-таки, не только математические, но и онтологические, так как необходимы для нормальной ориентации человека во внешнем мире. В дальнейшем, по-видимому, происходит формирование образов чисел от нуля до девяти включительно, а так же простейших образов геометрических фигур, в том числе и пространственных. Также на этом уровне закладывается представление об основной математической операции сложения. Мы видим, насколько велика роль априорной составляющей неявного знания именно в математике. Да это и не удивительно - ведь математика наиболее тесно связана с умственной деятельностью и особенностями мышления. Важно то, что априорное знание несмотря на всю свою личностность, интерсубъективно. Это объясняется очевидностью общности анатомических и физиологических особенностей субъектов познания, а также сходностью протекания психологических реакций.

Итак, весь этот комплекс неявного знания необходим для выполнения простейших математических действий. А все умения и навыки, присущие личности, базируются наряду с осознанным, алгоритмизированным знанием на знании неявном, представляющем собой личностный опыт освоения математики и передающемся во время обучения. Если индивидуально-психологические особенности личности не способствуют успешному освоению чужого опыта а, значит, и формированию своего как неявного личностного знания, то и обучение в целом вряд ли будет успешным. Это следует из теории неявного знания М. Полани [4].

Неявное знание как априорное и как опыт математического мышления в основном и составляет предпосылки, необходимые для формирования определенного стиля математического мышления. Можно сказать, что неявное знание и представляет собой тот инструмент, при помощи которого, или, точнее которым и осуществляется в дальнейшем само математическое исследование. Это именно та основа, на которой и формируются предпосылки, составляющие костяк метода, позволяющего получить теоретические утверждения, которыми, по выражению М. Полани, наполнены учебники [4]. Необходимость неявного знания объединяет и интуитивистов и аналитиков.

Неявное знание с трудом поддается не только алгоритмизации, но и простейшей вербализации. Наряду с априорным знанием оно включает в себя также нерационализированные результаты работы математической интуиции, в своем роде издержки математического мышления. Это объясняется тем, что не все неявное знание может "проявиться". Некоторая его часть так и не может "пробиться" из области подсознания. Там это остаточное неявное знание может вступить во взаимодействие с неявным знанием, уже накопленным личностью. Это чаще всего происходит в так называемых пограничных состояниях - во время засыпания или вообще во сне. Мыслительный процесс практически никогда не прекращается. Все неявное знание как таковое можно рассматривать как материал для мыслительной деятельности математика, как источник гипотез. Ведь неявное знание через комплекс неосознанных ощущений напрямую связано с областью бессознательного и поэтому обладает значительной эвристической мощностью. Понятно, что чем более мощным слоем неявного знания обладает математик, тем больше оригинальных идей он может высказать. В итоге сложнейшей интеграции встраивания остаточного неявного знания в неявное знание, уже существующее, неожиданно, как бы сами собой могут решаться давно забытые задачи. Накапливаясь, нерационализированные издержки работы интуиции могут породить путаный, непоследовательный стиль математического мышления. Даже у сильных математиков часть продуктов деятельности математической интуиции остается нерационализированной и как бы "застревает" в подсознании, иногда становясь помехой мыслительному процессу и осложняя его. В отдельных случаях может возникнуть иллюзия доказательства. Видимо, это и происходит в основном в случаях получения все новых "доказательств" теоремы Ферма.

Такое неявное знание в математике представляет собой скрытые леммы или определения, имеющие вид аксиом, как, например, постулат параллельных до открытия неевклидовой геометрии.